Basisboek wiskunde en financiële rekenkunde-Donald van As en Jaap Klouwen

1.3

TEGENGESTELDE EN OMGEKEERDE

Het ongedaan maken van een vermenigvuldiging wordt vervolgens ge- definieerd als de deling . Het resultaat van een deling (het quotiënt ) van twee gehele getallen is echter niet per se weer een geheel getal (bijvoor- beeld 6 : 8). Dit vraagt weer om een nieuwe getallenverzameling, die van de gebroken getallen (ook: rationale getallen of kortweg breuken ). De gebroken getallen zijn de gehele getallen aangevuld met alle mogelijke verhoudingen van twee gehele getallen. Zo is 3 : 7 een gebroken getal, dat ook aangeduid kan worden door 6 : 14, 30 : 70, enzovoorts. Dit bete- kent dat ieder gebroken getal op oneindig veel manieren te schrijven is. Het quotiënt van twee gebroken getallen is op één uitzondering na altijd weer een gebroken getal. De uitzondering: delen door 0 is onmogelijk (voorbeeld: 48 : 8 ¼ 6 want 6 � 8 ¼ 48, maar 48 : 0 heeft geen betekenis, omdat er geen getal is dat vermenigvuldigd met 0 weer 48 oplevert). Het getal 0 kan echter wel door andere getallen dan 0 worden gedeeld: de uitkomst is dan altijd 0 (ga na). Natuurlijke getallen zijn ook gehele getallen, maar niet alle gehele getal- len zijn natuurlijke getallen. De gehele getallen zijn immers een uitbrei- ding van de natuurlijke getallen. Op hun beurt zijn gehele getallen ook gebroken getallen, maar niet alle gebroken getallen zijn gehele getallen, want de gebroken getallen zijn weer een uitbreiding van de gehele ge- tallen. In de volgende paragrafen bedoelen we met het woord ‘ getal ’ al- tijd een getal uit de meest uitgebreide verzameling, die van de gebroken getallen. Dat kan dus 5 zijn, maar ook 0, � 3, 234 4 7 , of � 2 1 2 . Voor ieder getal a geldt: a þ 0 ¼ a en a � 1 ¼ a. Het getal 0 heeft in com- binatie met optellen dus dezelfde rol als het getal 1 in combinatie met vermenigvuldigen. Het getal 0 wordt wel het neutrale element van de op- telling genoemd en het getal 1 het neutrale element van de vermenigvul- diging . Als het resultaat van een optelling 0 is, zijn twee getallen opgeteld die el- kaars tegengestelde zijn (bijvoorbeeld 3 en � 3). Omgekeerd geldt voor ieder getal a en zijn tegengestelde � a: a þ ð� a Þ ¼ 0

1.3 Tegengestelde en omgekeerde

15