Basisboek wiskunde en financiële rekenkunde-Donald van As en Jaap Klouwen

Donald van As Jaap Klouwen

Basisboek

wiskunde en financiële rekenkunde

Kwantitatieve methoden met Exceltoepassingen

BASISBOEK WISKUNDE EN FINANCIËLE REKENKUNDE

Basisboek wiskunde en financiële rekenkunde Kwantitatieve methoden met Exceltoepassingen

Donald van As Jaap Klouwen

Tweede, herziene druk Derde, e druk

c

u i t g e v e r ij

c o u t i n h o

bussum 2014 22

Webondersteuning Bij dit boek hoort een website met extra materiaal: casuïstiek, oefentoetsen en uitwerkingen van de opgaven. Ook zijn er voorbeelden van videolessen en een link naar meer studiemateriaal. Ga naar www.coutinho.nl/wiskunde www.coutinho. l/wiskunde3 Je kunt aan de slag met h t online s udiemateriaal bij dit boek. Dit materiaal b - staat uit extra oefenopgaven en uitwerkingen van de opgaven n het boek. Ook zij er voorb lden van videolessen beschikbaar.

© 2006 Uitgeverij Coutinho bv © 2006/2022 Uitgeverij Coutinho bv

Alle rechten voorbehouden. Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautoma- tiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van reprografische verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16h Auteurswet 1912 dient men de daarvoor wet- telijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 3051, 2130 KB Hoofddorp, www.reprorecht.nl). Voor het overnemen van (een) ge- deelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie, Postbus 3060, 2130 KB Hoofd- dorp, www.stichting-pro.nl). et aken van reprografische verveelvoud gingen uit d ze uitgave is to gestaan op grond v n artikel 16h Auteurswet 1912 dient men de daarvoor wettelijk verschul igd vergoedi g n te v ldoen aan Stichting Reprorecht (www. reprorecht.nl). V r e eaderreg ling kan men zic wenden tot Stichting UvO (Uitg versorganisat e voor Onderwijsl centies, www.stichting-uv .nl). Voor h t ge- bru van auteurs ech elijk beschermd materiaal in knipselkranten dient men con- tact op t n men met Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie, www.stichti g-pro.nl).

Eerste druk 2006 Tweede, herziene druk 2014 Derde, herziene druk 2022

Uitgeverij Coutinho Postbus 333 1400 AH Bussum info@coutinho.nl www.coutinho.nl

Zetwerk: CO2 Premedia, Amersfoort Omslag: Studio Pietje Precies | bno, Hilversum Opmaa binnenwerk: Coco Bookmedia, Amersfoort s bv, Hilversum

Noot van de uitgever Wij hebben alle moeite gedaan om rechthebbenden van copyright te achterhalen. Personen of instanties die aanspraak maken op bepaalde rechten, wordt vriende- lijk verzocht contact op te nemen met de uitgever.

ISBN 978 90 469 0415 2 NUR 780, 919 978 90 469 0831 0 919

Voorwoord

Dit boek, het eerste deel in de serie Kwantitatieve methoden , is geschre- ven voor propedeusestudenten van alle opleidingen in het hoger econo- misch onderwijs. In de praktijk blijkt nogal eens dat studenten wiskundige en statistische kennis en vaardigheden missen om kwantita- tieve onderwerpen goed te kunnen overzien. Of het nu om algemene economie, commerciële economie of bedrijfseconomie gaat, onderwijs volgen in dergelijke deelgebieden van economische studies vergt parate kennis over en ervaring met kwantitatieve gegevens. De opbouw van de hoofdstukken in dit boek is zodanig dat wij verwach- ten dat studenten het boek grotendeels zelfstandig kunnen doorwerken. Elk hoofdstuk besluit met een serie opgaven, ingedeeld naar paragraaf, en een aantal gemengde opgaven. De uitwerkingen van beide soorten opgaven zijn te vinden op de website www.coutinho.nl.

Graag horen wij van de lezer opmerkingen die tot verbetering kunnen leiden.

Bij de tweede, herziene druk

Bij deze herziening is de titel licht veranderd. Om de verschillende boe- ken in de reeks beter te onderscheiden is ‘ wiskunde en financiële reken- kunde ’ naar de hoofdtitel verplaatst en ‘ kwantitatieve methoden ’ naar de ondertitel. De eerste druk bevatte vier hoofdstukken. Wij vonden het nieuwe, vijfde hoofdstuk Rentabiliteitswaarde een noodzakelijk vervolg op hoofdstuk 4, Financieel rekenen. Rentabiliteit is een ander woord voor de waarde van een lening op een zeker moment, bijvoorbeeld bij verkoop of beëindiging van die lening. Om didactische redenen is tevens hoofdstuk 4 herschreven, waarbij hier- in het onderwerp afschrijvingsmethoden is toegevoegd. De twee hoofd- stukken samen dekken nu alle gangbare berekeningen in de financiële wereld.

In het eerste hoofdstuk zijn nieuwe voorbeelden uit de commerciële eco- nomie en bedrijfseconomie opgenomen, om de toepassing van de stof in die vakgebieden duidelijker te laten zien. Daarnaast zijn er veel meer op- gaven per hoofdstuk dan in de eerste editie. In sommige hoofdstukken zijn ook enkele ‘ cases ’ opgenomen. Verder hebben we in deze editie ge- kozen voor de Nederlandse versie van Excel. In een appendix is de verta- ling van de gebruikte termen opgenomen, van Nederlands naar Engels en vice versa. Website Bij deze tweede, herziene druk is een website beschikbaar met casuïs- tiek, oefentoetsen en de uitwerkingen van alle opgaven in het boek. Ook zijn er enkele voorbeelden van videolessen waarin onderwerpen uit het boek worden uitgelegd. Geïnteresseerden vinden een link naar een web- site met meer videolessen en oefen- en voorbeeldmateriaal. Ga naar www.coutinho.nl/wiskunde. Wij zijn onze collega ’ s Hanneke van de Velde en Rob Maas erkentelijk voor hun commentaar en het doorrekenen van de uitwerkingen van de eerste editie. Daarnaast danken wij Tineke Telkamp voor de begeleiding vanuit uitgeverij Coutinho, Lineke Pijnappels (redactie), Ewout van der Hoog (proevencorrectie) en Kim Fierens (correctie uitwerkingen). Tot slot danken wij Nynke Coutinho, omdat zij ons acht jaar geleden in de gele- genheid stelde de eerste editie van dit boek maken. ij de derde, her iene druk In deze herziening zijn voorbeelden en opgaven geactualiseerd, bijvoor- beeld een casus over een model van de kosten van het rijden met een benzinemotor versus elektrisch rijden. Ook is er een aantal opgaven ver- vangen en zijn er wat tekstuele aanpassingen gedaan ten behoeve van de volledigheid en juistheid. Op de website zijn (Excel)oefenopgaven uit de vijf hoofdstukken geplaatst, met een aparte uitwerkingenfile. Maarn en Amersfoort, februari 2022 Donald van As Jaap Klouwen

Maarn en Amersfoort, juni 2014 Donald van As Jaap Klouwen

Inhoud

Inleiding

11

1 Lineaire verbanden

13

1.1 Inleiding

13 13 15 16 19 20 21 22 24 25 28 29 31 35 39 40 40

1.2 Bewerkingen en getalverzamelingen 1.3 Tegengestelde en omgekeerde

1.4 Optellen en vermenigvuldigen gecombineerd

1.5 Rekenen met breuken

1.5.1 De som en het verschil van twee breuken

1.5.2 Het product van twee breuken 1.5.3 Het quotiënt van twee breuken 1.6 Lineaire groei, de eerstegraadsfunctie 1.7 Grafische voorstelling van lineaire groei

1.8 Lineaire vergelijkingen

1.8.1 Kruislings vermenigvuldigen

1.9 Twee eerstegraadsvergelijkingen met twee onbekenden

1.10 Rekenen met procenten 1.11 Absolute en relatieve groei

1.12 Enkele toepassingen

1.12.1 Berekenen van een break-evenpunt (BEP)

1.12.2 Bepalen van de evenwichtsprijs bij lineaire vraag- en aanbodfuncties 41 1.12.3 Berekenen van de lineaire prijselasticiteit van de vraag 42 1.13 Lineaire groei en Excel 44 1.13.1 Grafiek en functievoorschrift van een lineaire functie 44 1.13.2 Lineaire vergelijkingen oplossen in Excel 46 1.13.3 Lineaire lening 49 Opgaven 53 Gemengde opgaven 62

2 Exponentiële verbanden

69

2.1 Inleiding

69 70 70 71 71 72 72 72 73 73 75 75 76 78 79 80 81 81 82 84 86 88 88 91 94

2.2 Machtsverheffen

2.3 Rekenen met machten met positieve exponenten 2.3.1 Optellen en aftrekken van twee machten 2.3.2 Vermenigvuldigen en delen van machten

2.3.3 De macht van een som of een verschil

2.3.4 De macht van een product 2.3.5 De macht van een quotiënt 2.3.6 De macht van een macht

2.4 Negatieve exponenten

2.5 Worteltrekken als inverse van machtsverheffen 2.6 Een nieuwe getalverzameling: de reële getallen

2.7 Gebroken exponenten

2.8 Combinaties van machtsverheffen, vermenigvuldigen en optellen

2.9 De symbolen en

2.10 Logaritmen

2.10.1 Logaritmen met grondtal 10

2.10.2 Logaritmen met een ander grondtal dan 10

2.11 Exponentiële groei, de exponentiële functie 2.12 Grafische voorstelling van exponentiële groei

2.13 Exponentiële vergelijkingen 2.14 Exponentiële groei en Excel

2.14.1 Grafiek en functievoorschrift van een exponentiële functie 2.14.2 Exponentiële vergelijkingen oplossen in Excel

Opgaven

Gemengde opgaven

101 105

Praktijkcases

3 Andere economische verbanden

109

3.1 Inleiding

109 110 118 118 119 121 122

3.2 Tweedegraadsverbanden

3.3 Grafieken, vergelijkingen en extremen in Excel

3.3.1 Grafieken van tweedegraadsfuncties in Excel 3.3.2 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen met Excel 3.3.3 Extremen van tweedegraadsfuncties in Excel

3.4 Hogeregraadsverbanden

3.5 Machtsfuncties

126 130 131 133 133 135 138 144 147 147 148 150 152 153 155 159 161 164 165 165 169 169 170 171 172 173 173 174 175 176 176 181 184 196 204 147

3.5.1 Asymptoot

3.6 Gebroken functies en vergelijkingen

3.7 Trap- en knikfuncties

3.7.1 Gewone trapfunctie 3.7.2 Schijvenfuncties

Opgaven

Gemengde opgaven

4 Financiële rekenkunde

4.1 Inleiding 4.2 Interest

4.3 Enkelvoudige en samengestelde interest 4.4 Rekenkundig en meetkundig gemiddelde

4.5 Gelijkwaardige percentages 4.6 Eindwaarde en contante waarde

4.7 De contante waarde van periodieke betalingen 4.8 De contante waarde van een prenumerando rente 4.9 De eindwaarde van pre- en postnumerando renten

4.10 Eeuwigdurende rente 4.11 Enkele typen leningen

4.11.1 De annuïteitenlening 4.11.2 De lineaire lening

4.11.3 De ineens aflosbare lening (bulletlening)

4.11.4 De niet-aflosbare lening

4.11.5 De discontolening

4.12 Afschrijvingsmethoden

4.12.1 De lineaire afschrijvingsmethode 4.12.2 De annuïtaire afschrijvingsmethode 4.12.3 De methode van een vast percentage van de boekwaarde 4.12.4 De methode van de sum of the years ’ digits (SYD)

4.13 Financiële rekenkunde en Excel

4.13.1 Excelfuncties voor financieel rekenen

4.13.2 Aflossingsschema ’ s in Excel

Opgaven

Gemengde opgaven

Praktijkcases

5 Rentabiliteitswaarde

207

5.1 Inleiding

207 207 208 209 212 212 213

5.2 De rentabiliteitswaarde van een lening

5.2.1 Annuïtaire lening 5.2.2 Bulletlening 5.2.3 Discontolening 5.2.4 Niet-aflosbare lening

5.2.5 Lineaire lening

5.3 Het verband tussen Ca en Ci 214 5.4 Het verband tussen twee opvolgende rentabiliteitswaarden 216 5.5 Rentabiliteitswaarde tussen twee betalingen in 217 5.6 De koers van een lening 219 5.7 Obligatieleningen 220 Opgaven 225 Gemengde opgaven 229 Praktijkcase 232

Appendices

233

Register

239

Over de auteurs

244

Inleiding

In het eerste jaar van een studie aan een economische opleiding wordt duidelijk dat in economische modellen maar een beperkt aantal wiskun- dige basisfuncties gebruikt wordt, waarvan de lineaire functie de aller- belangrijkste is. Break-evenpunten, enkelvoudige interest, evenredige kostenfuncties, vraag- en aanbodfuncties, de lineaire afschrijvingsme- thode: het aantal toepassingen is zeer groot. Op de financiële rekenkunde is een andere belangrijke basisfunctie van toepassing: de exponentiële functie. Financiële rekenkunde is een vakge- bied dat elke student van een economische opleiding moet beheersen. ‘ Renterekenen ’ is onmisbaar, bijvoorbeeld om aflossingen en interestbe- talingen van een financieel leningscontract of een hypotheek op hun juistheid te controleren. De ‘ contante-waardemethode ’ , investeringspro- jecten, de waarde van een obligatielening: het zijn allemaal toepassingen van exponentiële verbanden. Met de wiskundige basisbegrippen lineaire en exponentiële verbanden is een groot deel van alle economische toepassingen in het hoger onderwijs gedekt. Daarom is er in dit boek veel ruimte gemaakt voor wiskundige bewerkingen en worden tussen die bewerkingen ook verbanden gelegd die dat begrip verstevigen. Zo is er een duidelijk verband tussen het li- neaire model: output ¼ beginwaarde þ vast getal � input en het exponentiële model: output ¼ beginwaarde � (vast getal) input Het lineaire model staat centraal in hoofdstuk 1, samen met de basisbe- werkingen in de wiskunde, breuken, lineaire vergelijkingen, stelsels van vergelijkingen, rekenen met procenten en een aantal economische toe- passingen, waaronder lineaire elasticiteit. Het exponentiële model is de basis voor hoofdstuk 2, aangevuld met de wiskundige bewerkingen worteltrekken, logaritme en de link met sa- mengestelde rente bij financieel rekenen.

11

INLEIDING

In hoofdstuk 3 worden andere dan lineaire en exponentiële verbanden verkend: kwadratische functies in bijvoorbeeld omzetfuncties, derde- graads kostenfuncties, gebroken functies als model voor gemiddelde kos- ten en de in andere boeken weinig behandelde, maar veel voorkomende ‘ trapfuncties ’ , bijvoorbeeld in kortingsfuncties en in het schijventarief van de inkomstenbelasting. Hoofdstuk 4 bevat de basis van financieel rekenen. Allereerst met het on- derscheid tussen enkelvoudige en samengestelde interest, maar ook de contante waarde en de eindwaarde van een serie betalingen of ontvang- sten. De vijf meest gangbare typen leningen worden behandeld, evenals een aantal soorten afschrijvingsmethoden. In de laatste paragraaf worden de belangrijkste financiële functies in Excel behandeld. Hoofdstuk 5 gaat dieper in op de waarde van een lening bij verande- rende marktrente. In de financiële rekenkunde is het belangrijk te weten welke waarde een lening of obligatie heeft bij eventuele verkoop, waar- bij – in tegenstelling tot de meeste boeken op dit gebied – ook aandacht wordt besteed aan de waarde tussen twee rente- en aflossingstijdstippen. Het hulpmiddel bij al deze kwantitatieve toepassingen is natuurlijk een rekenmachine, maar, ervan uitgaande dat elke hbo-student economie toegang tot en enige kennis van Excel heeft, hebben wij ervoor gekozen om dit spreadsheetprogramma te gebruiken. Elk hoofdstuk eindigt dan ook met een aantal toepassingen in Excel. We gebruiken de Nederlands- talige versie. In de appendix wordt een lijst gegeven met de vertaling van de Nederlandse termen naar het Engels en andersom.

Online studiemateriaal Op www.coutinho.nl/wiskunde3 vind je het online studiemateriaal bij dit

boek. Dit materiaal bestaat uit: - extra oefenopgaven in Excel; - uitwerkingen bij de opgaven uit het boek; - voorbeelden van videolessen.

12

1 Lineaire verbanden

1.1 Inleiding

In dit hoofdstuk zullen we ons eerst bezighouden met de bewerkingen optellen (symbool þ ) en vermenigvuldigen (symbolen � , � en *) en hun inversen: aftrekken (symbool � ) en delen (symbolen / , ÷ , : en de hori- zontale deelstreep). Daarnaast komen de natuurlijke, de gehele en de ra- tionale getallen aan bod, gevolgd door een paragraaf over de begrippen tegengestelde en omgekeerde. Nadat speciaal aandacht is besteed aan het rekenen met breuken, gaan we de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen combineren en dit toepassen in de paragraaf over lineaire groei. Lineaire groei kan schema- tisch worden beschreven als: output = beginwaarde + vast getal � input Vervolgens wordt een lineair model geformuleerd, waarvan ook een gra- fische voorstelling wordt gegeven: de rechte lijn. Daarna wordt het oplossen van lineaire vergelijkingen met één onbe- kende en van stelsels van twee lineaire vergelijkingen met twee onbe- kenden behandeld. Speciale aandacht zal worden geschonken aan het rekenen met procenten. Tot slot komen economische toepassingen van lineaire groei aan bod, zoals enkelvoudige interest, de prijs-afzetfunctie en lineaire prijselastici- teit. Het hoofdstuk eindigt met toepassingen in Excel.

1.2 Bewerkingen en getalverzamelingen

Rekenen in zijn meest primitieve vorm gebeurt met de natuurlijke getal- len , de getallen 0, 1, 2, 3, 4, enzovoorts. De meest elementaire bewerking die met deze getallen kan worden uitgevoerd is optellen . Het resultaat van een optelling (de som ) van twee natuurlijke getallen is weer een na-

13

1

LINEAIRE VERBANDEN

tuurlijk getal. Het maakt niet uit met welke van de twee termen de optel- ling begint: 4 þ 7 heeft dezelfde uitkomst als 7 þ 4. Algemeen: a þ b ¼ b þ a In de rekenkunde bestaat altijd de behoefte aan een bewerking die een eerder uitgevoerde bewerking ongedaan maakt. Zo ontstaat de inverse bewerking . De inverse bewerking van optellen is aftrekken . Het resultaat van een aftrekking (het verschil ) van twee natuurlijke getallen is echter niet altijd weer een natuurlijk getal (bijvoorbeeld 6 � 8). Dit vraagt om een nieuwe getalverzameling: de gehele getallen . De gehele getallen zijn de natuurlijke getallen aangevuld met de nega- tieve getallen � 1, � 2, � 3, � 4, enzovoorts. Binnen de gehele getallen geldt wél dat optellen en aftrekken van ieder tweetal weer een geheel getal op- levert. Overigens is het voor aftrekken, in tegenstelling tot optellen, wel van belang met welke van de twee termen de aftrekking begint: 4 � 7 heeft een andere uitkomst dan 7 � 4. Als we een bepaalde optelling vaak moeten herhalen, bijvoorbeeld 6 þ 6 þ 6 þ 6 þ 6 þ 6 þ 6 þ 6, is het handig daar een afkorting voor te hebben. De afkorting voor herhaald optellen is eigenlijk weer een nieuwe bewer- king: vermenigvuldigen . De optelling uit het voorbeeld wordt dan ge- schreven als 8 � 6. Het resultaat van een vermenigvuldiging (het product ) van twee gehele getallen is altijd weer een geheel getal. Net als bij optellen maakt het niet uit met welke van de twee factoren de verme- nigvuldiging begint: 4 � 7 heeft dezelfde uitkomst als 7 � 4. Algemeen: a � b ¼ b � a Wiskundigen hebben de gewoonte om in hun communicatie alles zo kort mogelijk te houden. Dit kan voor een beginner tot misverstanden leiden. Zo wordt in bovengenoemde uitdrukking het � -teken meestal weggela- ten, en wordt eenvoudig ab geschreven in plaats van a � b en ba in plaats van b � a. Als één van de letters vervangen wordt door een specifiek getal is er nog niets aan de hand: 26 � b kan worden geschreven als 26b. Ook b � 26 kan worden geschreven als b26, maar dit is zeer ongebruikelijk in de wiskunde: normaal gesproken schrijven we eerst het getal en daarna de letter(s). Wanneer beide letters worden vervangen door specifieke getallen, gaat de afkorting niet meer op: 26 � 13 zou dan immers 2613 opleveren.

14

1.3

TEGENGESTELDE EN OMGEKEERDE

Het ongedaan maken van een vermenigvuldiging wordt vervolgens ge- definieerd als de deling . Het resultaat van een deling (het quotiënt ) van twee gehele getallen is echter niet per se weer een geheel getal (bijvoor- beeld 6 : 8). Dit vraagt weer om een nieuwe getallenverzameling, die van de gebroken getallen (ook: rationale getallen of kortweg breuken ). De gebroken getallen zijn de gehele getallen aangevuld met alle mogelijke verhoudingen van twee gehele getallen. Zo is 3 : 7 een gebroken getal, dat ook aangeduid kan worden door 6 : 14, 30 : 70, enzovoorts. Dit bete- kent dat ieder gebroken getal op oneindig veel manieren te schrijven is. Het quotiënt van twee gebroken getallen is op één uitzondering na altijd weer een gebroken getal. De uitzondering: delen door 0 is onmogelijk (voorbeeld: 48 : 8 ¼ 6 want 6 � 8 ¼ 48, maar 48 : 0 heeft geen betekenis, omdat er geen getal is dat vermenigvuldigd met 0 weer 48 oplevert). Het getal 0 kan echter wel door andere getallen dan 0 worden gedeeld: de uitkomst is dan altijd 0 (ga na). Natuurlijke getallen zijn ook gehele getallen, maar niet alle gehele getal- len zijn natuurlijke getallen. De gehele getallen zijn immers een uitbrei- ding van de natuurlijke getallen. Op hun beurt zijn gehele getallen ook gebroken getallen, maar niet alle gebroken getallen zijn gehele getallen, want de gebroken getallen zijn weer een uitbreiding van de gehele ge- tallen. In de volgende paragrafen bedoelen we met het woord ‘ getal ’ al- tijd een getal uit de meest uitgebreide verzameling, die van de gebroken getallen. Dat kan dus 5 zijn, maar ook 0, � 3, 234 4 7 , of � 2 1 2 . Voor ieder getal a geldt: a þ 0 ¼ a en a � 1 ¼ a. Het getal 0 heeft in com- binatie met optellen dus dezelfde rol als het getal 1 in combinatie met vermenigvuldigen. Het getal 0 wordt wel het neutrale element van de op- telling genoemd en het getal 1 het neutrale element van de vermenigvul- diging . Als het resultaat van een optelling 0 is, zijn twee getallen opgeteld die el- kaars tegengestelde zijn (bijvoorbeeld 3 en � 3). Omgekeerd geldt voor ieder getal a en zijn tegengestelde � a: a þ ð� a Þ ¼ 0

1.3 Tegengestelde en omgekeerde

15

1

LINEAIRE VERBANDEN

Verminderen met een bepaald getal is hetzelfde als vermeerderen met het tegengestelde van dat getal: a � b ¼ a þ ð� b Þ Als het resultaat van een vermenigvuldiging 1 is, zijn twee getallen ver- menigvuldigd die elkaars omgekeerde zijn. Andersom geldt voor ieder getal a ongelijk aan 0 en zijn omgekeerde 1/a ook dat:

1 a ¼

1

a �

(NB Op bijna elke rekenmachine is het tegengestelde gemakkelijk te be- rekenen door het getal in te toetsen en daarna de knop ‘ x � 1 ’ en ‘ ¼ ’ of ‘ ENTER ’ in te toetsen; zie hoofdstuk 2 voor uitleg hiervan.)

Delen door een bepaald getal is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde van dat getal:

a b ¼ 1 b Het omgekeerde wordt ook wel de reciproke genoemd. a �

In deze paragraaf is aangetoond dat een aftrekking omgezet kan worden in een optelling en een deling in een vermenigvuldiging. We zullen op- tellen en vermenigvuldigen daarom de hoofdbewerkingen noemen.

1.4 Optellen en vermenigvuldigen gecombineerd

Als optellen (aftrekken) en vermenigvuldigen (delen) in één vorm of ver- gelijking voorkomen, ontstaat de vraag welke van deze bewerkingen dan voorrang krijgt. Afgesproken is dat vermenigvuldigen (delen) eerst wordt uitgevoerd en daarna pas optellen (aftrekken). Om die volgorde te veranderen moeten haakjes worden gebruikt. In het geval van één bewerking moet de betreffende bewerking van links naar rechts worden uitgevoerd, tenzij haakjes worden gebruikt. Bij- voorbeeld: 8 � 5 þ 3 ( ¼ 6) heeft een andere uitkomst dan 8 � (5 þ 3) ( ¼ 0). Evenzo is 8 : 5 � 3 niet hetzelfde als 8 : (5 � 3). De antwoorden zijn dan 24/5 respectievelijk 8/15. Hieronder volgen enkele rekenregels die bij berekeningen vaak terugkomen.

16

1.4

OPTELLEN EN VERMENIGVULDIGEN GECOMBINEERD

1 (a þ b) � c ¼ a � c þ b � c ¼ ac þ bc en dus ook: 2 a � (b þ c) ¼ a � b þ a � c ¼ ab þ ac maar ook:

(a � b) � c ¼ ac � bc a � (b � c) ¼ ab � ac

3 (a þ b) � (c þ d) ¼ a � c þ a � d þ b � c þ b � d en o.a.: (a � b) � (c þ d) ¼ ac þ ad þ bc þ bd ¼ ac þ ad � bc � bd 4 a þ b c ¼ a c þ b c en dus tevens: a � b c ¼ a c � b c Maar let op: wanneer er maar één hoofdbewerking (optellen of verme- nigvuldigen) is, is de volgorde van bewerken niet van belang:

5 6

(a þ b) þ c ¼ a þ (b þ c) (a � b) þ c ¼ a þ ( � b þ c)

maar ook: (a þ c) þ b maar ook: (a þ c) þ � b ofwel (a þ c) � b maar ook: (a � c) � b

7

a � (b � c) ¼ (a � b) � c

1 c ¼ ð

1 c �

b c ¼

1 c

a � b �

maar ook: a �

a � b Þ �

b

8

a �

In deze gevallen zijn de haken feitelijk overbodig, in tegenstelling tot bij de rekenregels 1 tot en met 4.

V OORBEELD 1.1

(a þ 5) � c levert voor de waarden a ¼ 2 en c ¼ 7 de berekening (2 þ 5) � 7 op, die 49 als uitkomst heeft; als de haakjes er niet hadden gestaan zou de berekening 2 þ 5 � 7 zijn geweest, met als uitkomst 37. Merk ook op dat we (2 þ 5) � 7 volgens rekenregel 1 als 2 � 7 þ 5 � 7 kunnen schrijven, ofwel als 14 þ 35 waar 49 uitkomt. Generaliserend: (a þ 5) � c ¼ a � c þ 5 � c of kortweg ac þ 5c. V OORBEELD 1.2

a þ 5 c

ofwel (a þ 5) / c is te schrijven als ð a þ 5 Þ � 1 c

1 c þ

1 c

ofwel als a �

5 �

a c þ

5 c . Ook hadden we direct rekenregel 4 kunnen toepassen.

en korter als

In voorbeeld 1.2 is de deling eerst omgezet naar een vermenigvuldiging voordat verder wordt herleid. In het algemeen geldt dat rekenfouten kunnen worden voorkomen als alle uit te voeren bewerkingen eerst wor- den omgezet naar de hoofdbewerkingen optellen en vermenigvuldigen.

17

1

LINEAIRE VERBANDEN

Verder zien we dat door het gebruik van de horizontale breukstreep geen haken hoeven te worden gebruikt, die bij de andere deeltekens ( : en / ) wel nodig zouden zijn. Zo kan c 1 þ R ook met haken geschreven worden, als c / (1 þ R) of als c : ð 1 þ R Þ . Verdrijf de haken en schrijf met zo weinig mogelijk termen: 4(3 � p) þ 5p(q � 8) � q(12 � 2p) Eerst de haken verdrijven: 12 � 4p þ 5pq � 40p � 12q þ 2pq Gelijksoortige termen bij elkaar nemen: 12 � 44p � 12q þ 7pq V OORBEELD 1.4 Verdrijf de haken en schrijf met zo weinig mogelijk termen: (a � 2b)( � 3c þ 6) � 3(b � 3a) Eerst de haken verdrijven: � 3ac þ 6a þ 6bc � 12b � 3b þ 9a Gelijksoortige termen bij elkaar nemen: � 3ac þ 15a þ 6bc � 15b Ook het omgekeerde van ‘ haken verdrijven ’ heeft zijn toepassingen in de (economische) wiskunde. Daarbij wordt gezocht naar een zogeheten gemeenschappelijke factor . Deze techniek wordt ook wel ontbinden in factoren genoemd of kortweg factoriseren . V OORBEELD 1.3

V OORBEELD 1.5

Ontbind in factoren: ab þ ac

Zoek een factor die in beide termen ab en ac voorkomt. Dit is de factor a. De ontbinding is dus:

ab þ ac ¼ a(b þ c)

V OORBEELD 1.6

Ontbind in factoren: b þ ab � bc

18

1.5

REKENEN MET BREUKEN

Zoek een gemeenschappelijke factor in de drie termen. Dat is de factor b. Er volgt dus:

b þ ab � bc ¼ b(1 þ a � c) Dit is ook te schrijven als b(a � c þ 1). V OORBEELD 1.7

Ontbind in factoren: pqr þ 3pq

Zoek een gemeenschappelijke factor. Dat zijn er hier zelfs twee: p en q. Factoriseren levert dus:

pqr þ 3pq ¼ pq(r þ 3) In bovenstaande voorbeelden zijn de factoren variabelen. De factoren kunnen echter ook getallen zijn, bijvoorbeeld in 2a þ 8b ¼ 2(a þ 4b). In de volgende hoofdstukken zullen we nog andere, meer economische toepassingen van ontbinden in factoren geven. dez voorbeelden zijn de factoren vari bel . De f ctor kunnen ech- ter ook getallen zijn, bijvoorbeeld n 2a 8b 2( 4b).

1.5 Rekenen met breuken

In paragraaf 1.2 zijn de gebroken getallen ofwel breuken geïntroduceerd.

In eerste instantie is iedere breuk opgebouwd uit twee gehele getallen: de teller (het getal waar op moet worden gedeeld) en de noemer (het ge- tal waar door moet worden gedeeld). Dus:

teller noemer

breuk ¼

De waarde van een breuk blijft gelijk als teller en noemer met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd of door hetzelfde getal worden gedeeld. Hieruit is af te leiden dat een breuk kan worden opgevat als een verhou- ding van twee gehele getallen (zie ook paragraaf 1.2).

19

1

LINEAIRE VERBANDEN

V OORBEELD 1.8

160 240

8 12

32 48

2 3

4 6

32 48

160 240

8 � 12

en aan � en an

enzovoorts : enzov orts.

maar ook aan ar ok an ,

en an

is gelijk aan

en aan

V OORBEELD 1.9

8 28 ¼

2 7

6 120 ¼

1 20

a b ¼

a � c b � c ¼

ac bc

en

en

Vermenigvuldigen met � 1 maakt van een getal zijn tegengestelde. Zo- wel teller als noemer van een breuk vermenigvuldigen met � 1 verandert echter niets aan die breuk. Het tegengestelde van een breuk kan daarom op verschillende wijzen geschreven worden:

V OORBEELD 1.10

7 10

7 10

is gelijk aan � 7 10

7 � 10

maar ook aan , m ar ok an

�

1.5.1 De som en het verschil van twee breuken

Optellen en aftrekken met breuken kan alleen als hun noemers gelijk zijn. Rekenregel 4 kan dan in omgekeerde volgorde worden toegepast. Als de noemers niet gelijk zijn, moeten we ze gelijknamig maken. Dat kan door bij beide breuken teller en noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen:

a b þ ad þ bc bd In de volgende voorbeelden lichten we deze regel toe. c d ¼ a � d b � d þ b � c b � d ¼ ad bd þ bc bd ¼

V OORBEELD 1.11

4 5 þ

6 7 ¼

28 35 þ

30 35 ¼

58 35

V OORBEELD 1.12

1 6 �

3 8 ¼

4 24 �

9 24 ¼ �

5 24

5 24

ofwel �

20

1.5

REKENEN MET BREUKEN

In de eerste breuk zijn teller en noemer met 4 vermenigvuldigd, in de tweede met 3. De nieuwe, gemeenschappelijke noemer, 24 dus, is het kleinste gehele getal dat deelbaar is door zowel 6 als door 8; dit getal wordt het kleinste gemene veelvoud van 6 en 8 genoemd. Een andere mogelijkheid is teller en noemer van de breuken te verme- nigvuldigen met 8 respectievelijk 6. De uitkomst zou dan � 10/48 zijn ge- weest, wat vereenvoudigd kan worden tot � 5/24. V OORBEELD 1.13

4 q �

4 q �

3 � q

4 q �

3q

4 q þ �

3q q ¼

4 � 3q q

3 ¼

q ¼

q ¼

Gebruik hier dat 3 ¼ 3/1 ¼ 3q/q. 1.5.2 Het product van twee breuken

Het product van twee breuken is gelijk aan het product van hun tellers gedeeld door het product van hun noemers. De algemene uitdrukking luidt:

a b �

c d ¼

a � c b � d ¼

ac bd

In de volgende voorbeelden lichten we deze regel toe.

V OORBEELD 1.14

4 5 �

6 7 ¼

4 � 6 5 � 7 ¼

24 35

V OORBEELD 1.15

1 r ¼

K 1 �

1 r ¼

K r

K �

V OORBEELD 1.16

1 1 � r

S ¼ t 1 �

t 1 1 � r

¼

21

1

LINEAIRE VERBANDEN

Het omgekeerde van een breuk is het (gebroken) getal dat bij vermenig- vuldiging met die breuk het getal 1 oplevert (zie paragraaf 1.3).

V OORBEELD 1.17

5 7 � ? ¼ 1 is af te leiden dat op de plaats van het vraagteken het getal

Uit

7 5

moet staan.

Algemeen is het omgekeerde van a b

b a

het getal

.

1.5.3 Het quotiënt van twee breuken

In paragraaf 1.3 hebben we gezien dat delen door een bepaald getal kan worden vervangen door vermenigvuldigen met het omgekeerde van dat getal. Als in een breuk de teller en/of de noemer zelf ook een breuk is, is het handig om bovenstaand principe toe te passen. De algemene regel luidt: dit principe toe te passen.

a b c d

a b �

d c ¼

a � d b � c ¼

ad bc

¼

V OORBEELD 1.18

2 5 5 6

2 5 �

6 5 ¼

2 � 6 5 � 5 ¼

12 25

¼

V OORBEELD 1.19

4000 1 100

100

¼ 4000 �

4000 � 100 ¼ 400 : 000

1 ¼

22

1.5

REKENEN MET BREUKEN

V OORBEELD 1.20

p 24 3p 16

p 24 �

16 3p ¼

p 3p �

16 24 ¼

1 3 �

2 3 ¼

2 9

¼

V OORBEELD 1.21

p 100 þ

p 100 þ

100 100 ¼

p þ 100 100

1 ¼

V OORBEELD 1.22

g þ 3 0,04 ¼

g þ 3 4 100

100

100

100 4

¼ ð g þ 3 Þ �

g �

3 �

4 ¼

4 þ

¼ g � 25 þ 3 � 25 ¼ 25g þ 75

g þ 3 0,04 ¼

g þ 3 1 25

(maar ook:

¼ ð g þ 3 Þ � 25 ¼ 25g þ 75 !)

In onder andere de bedrijfseconomie spelen breuken met variabelen in formules vaak een rol. Voorbeelden zijn eenvoudige kengetallen als sol- vabiliteit en quick ratio, maar ook kostprijs en het bezettingsresultaat:

TV VV

solvabiliteit ¼

met

TV ¼ totaal vermogen VV ¼ vreemd vermogen quick ratio ¼

vlottende activa � voorraden kort vreemd vermogen

en

C N þ

V W

kostprijs ¼

23

1

LINEAIRE VERBANDEN

bezettingsresultaat ¼ ð W � N Þ � C N met C ¼ totale constante kosten N ¼ normale productie V ¼ verwachte variabele kosten W ¼ verwachte bezetting

verwachte productie

1.6 Lineaire groei, de eerstegraadsfunctie

Lineaire groei laat zich beschrijven door het volgende schema:

output ¼ beginwaarde þ vastgetal � input

ofwel door middel van de vergelijking: met de vergelijking:

S ¼ a þ v � t S en t heten de variabelen van deze vergelijking; a en v de parameters . Elk tweetal waarden van a en v levert een nieuwe vergelijking op met de variabelen S en t. Bijvoorbeeld a ¼ 3 en v ¼ 2 geeft de vergelijking S ¼ 3 þ 2t, en a ¼ � 0,75 en v ¼ 1 geeft de vergelijking S ¼ � 0,75 þ t. S is afhankelijk van t, daarom heet S de afhankelijke variabele en t de onafhankelijke variabele . Om deze afhankelijkheid te benadrukken wordt gezegd dat S een functie is van t . De notatie is soms S(t) in plaats van S: S ð t Þ ¼ a þ v � t Een functie kenmerkt zich door de afspraak dat bij iedere inputwaarde (waarde van t) ten hoogste één outputwaarde (waarde van S) hoort. S is een lineaire functie van t. In dit verband wordt ook gesproken van een eerstegraadsfunctie . De uitdrukking a þ v � t heet ook wel het functie- voorschrift . Bij eerstegraadsfuncties heeft iedere inputwaarde precies één outputwaarde.

24

1.7

GRAFISCHE VOORSTELLING VAN LINEAIRE GROEI

V OORBEELD 1.23

Gegeven is de eerstegraadsfunctie q ¼ � 2p þ 6. Schrijf p als functie van q.

Oplossing:

Aan beide zijden van de vergelijking 2p optellen: 2p þ q ¼ 6 Aan beide zijden van de vergelijking q aftrekken: 2p ¼ � q þ 6 Beide zijden van de vergelijking door 2 delen: p ¼ � 0,5q þ 3

Nu is p als functie van q geschreven.

V OORBEELD 1.24

Gegeven is de eerstegraadsfunctie q ¼ � 5 Schrijf p als functie van q.

4 p+12.

Oplossing: Aan beide zijden van de vergelijking

5 4

5 4 5 4

p optellen:

p þ q ¼ 12

p ¼ � q þ 12

Aan beide zijden van de vergelijking q aftrekken:

Beide zijden van de vergelijking met 4 5

vermenig-

4 5

48 5

q þ

vuldigen:

p ¼ �

Nu is p als functie van q geschreven.

1.7 Grafische voorstelling van lineaire groei

Laten we eens kijken naar de eerstegraadsfunctie met vergelijking S ¼ 1 þ 2t. We gaan aan de hand van een aantal getallenparen (t; S) onderzoeken hoe de grafiek van een eerstegraadsfunctie eruitziet. Er zijn oneindig veel getallenparen te maken, zoals (0; 1), (2; 5), (21; 43), ( � 1,5; � 2), enzovoorts. In tabel 1.1 worden de veranderingen van S en t aangegeven door res- pectievelijk S en t (spreek uit: ‘ delta S en delta t ’ ). e ens kijke naar d e rstegraadsfunctie met vergelijking S 1 2t.

25